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算数の問題

地域広報誌の塾の広告に載っていた「小学生向けの」問題が面白かったので解いてみました。塾名忘れてしまった…。問題も勝手に乗せていいのかどうか知らんけど…ま、いいか。


問題

問題は「半径 6cm の半円の円周を 6等分した点を図のように結んだとき、青い部分の面積を求めよ」というもので、但し書きとして「円周率を 3 とすること、三平方の定理を使わないこと」とあります。

円周率の値は「ゆとり乙!」ってことでπと書くとして、三平方の定理を使えないのは手ごわいです。あくまでも小学生向け問題なので、平方根なんて大人げないモノ使うなよ?という意味なのでしょう。

補助線を引こう

まずは円の中心から交点へ補助線を引きます。半円の円周を 6等分した点へ補助線を引いたので、補助線は半円を 1/6、全円を 1/12 に等分しています。この 1/12 円(以降、ピザ型と呼ぶ)の面積を p と置きます。

次に交点から円の直径へ垂線を引きます。補助線が成す角は 360 / 12 = 30°ですので、鋭角 30°の直角三角形ができます。この直角三角形の面積を x と置きます。

ピザ型から直角三角形を除いた部分(以降、帽子型と呼ぶ)の面積は p - x となります。


補助線

実は x などと置かなくても、三辺の比(1:2:√3)から、辺の長さ、三角形の面積を求められるのですが、三平方の定理禁止ルールに違反するので NG ですよ。

面積を求めよう

面積を求める前に青い部分を包含するピザ型達に注目しましょう。青い部分を包含するために必要なピザ型は 4枚なので、面積は 4p となります。当たり前ですね。


ピザ 4枚に注目

青い部分を見ると、ピザ型 4枚から、直角三角形 2個、帽子型 2個、を取り去った形をしていることがわかります。


面積を求める

さきほど説明した通り、ピザ型 4枚の面積は 4p、直角三角形 2個の面積は 2x、帽子型 2個の面積は 2(p - x) です。

したがって青い部分の面積は 4p - 2x - 2(p - x) = 2p です。

ピザ型の面積 p は半径 6cm の円の 1/12 でしたから、p = 6 * 6 * π ÷ 12 = 3π です。よって、答えは 6π になります。

感想

最初は三平方の定理を使って無理やり解いたので、計算が面倒くさかったのだけれど、ちゃんと考えれば暗算で解ける問題なんだなあ、とわかって感心しました。

自分の小学生時代にこの問題解けるかって?いやー、絶対無理でしょ、こんなの。

[編集者: すずき]
[更新: 2012年 12月 28日 01:05]
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コメント一覧

  • hdk 
    三角形部分の面積を求めなくて良いという事実に気づくのに 30 分もかかりました... その面積がわかったと仮定して計算式を思い浮かべている時に、三角形部分が消えることにやっと気づいたのですが、算数の問題の解答では、図で三角形を移動するような説明をするのでしょうねぇ。 
    (2012年12月28日 13:33:39)
  • すずき 
    >hdk さん
    図で三角形を移動するような説明はわかりやすいけれど、ごまかされている気がしますね。

    直角三角形の合同条件も含めてきちんと示すべきでした。

    1) 半円の直径を1辺に持つ直角三角形は合同
    1-1) 円周を6等分していることから、2つの鋭角は30°で等しい
    1-2) 半円の半径を斜辺としていることから、2つの斜辺の長さは等しい
    以上から2つの直角三角形は合同。

    2) 直径に垂直な半径を1辺に持つ直角三角形は合同
    2-1) 円周を6等分していることから、2つの鋭角は30°で等しい
    2-2) 半円の半径を斜辺としていることから、2つの斜辺の長さは等しい
    以上から2つの直角三角形は合同、1) とも合同。

    3) 青い部分の下辺は直径と平行
    1) から直径を底辺とした直角三角形の高さは等しい。直径と青い部分の下辺の距離は一定、つまり平行

    4) 1) と斜辺を共有する直角三角形は合同
    4-1) 3) より2つの鋭角は錯角の関係にあるため、30°で等しい
    4-2) 斜辺を共有しているため、2つの斜辺の長さは等しい
    以上から2つの直角三角形は 1) と合同。 
    (2012年12月28日 17:06:42)
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旅割の罠

北海道に帰省する際には ANA の旅割 28 を使って、通常運賃(2人で約 8万円)の半額程度で帰っています。

ところが今回、予約をミスって帰りを逆方向に取ってしまいました。本来であれば、行きを「神戸→千歳」として、帰りを「千歳→伊丹」としなければならないのですが、行きを「神戸→千歳」として、帰りを「伊丹→千歳」という逆方向にしてしまいました。

良くないことに旅割 28 のキャンセル料は「キャンセル時期に関わらず 50%」「予約対象は 1便に固定」「購入後の便の変更不可」です。

支払ったが最後、どうあってもキャンセル料(2人で 2万)をドブに捨てることになります。間違って購入したこちらが悪いですが、キャンセル料 50%って高すぎないか?

盆、正月の飛行機はボッタくり

帰りの便を ANA で取り直すと通常運賃になってしまうため、2人で 8万円になります。旅割 28 の 4万円ですら高いのに、8万円て、足元見るのもいい加減にしろってもんですよ…。

少しでも安くするために、帰りは最近話題の LCC(Low Cost Carrier)ピーチアビエーションを使うことにしました。お値段はなんと 2人で 3万円。安いなー…。

今にして思えば

今回は旅割をすぐに解約してしまいましたが、旅割で購入した旅券を解約する場合、あわてて解約するより、便が飛んでしまうまで放置して、便が飛んだ後に解約した方が得であるように思います。

普通の旅券はキャンセル料は数千円で、購入した便の飛ぶ数日前からキャンセル料が上がるものが多いですが、旅割は購入した便が飛ぶ前でも、飛んだ後でも、キャンセル料が全く変わらない、という変な旅券です。

旅割をあわてて解約してもキャンセル料 50%をドブに捨てるだけで何も良いことがありません。しかし、便が飛ぶまで放置しておけば、悪天候の欠航など航空会社都合(=キャンセル料 0円)での解約が期待できます。

放置して悪天候などで欠航になればキャンセル料 0、欠航にならなくてもキャンセル料は 50%のまま据え置き、となれば、当然ながら便が飛んでしまうまで放置するのが得、と思われても仕方ないです。

なぜ旅割はこんな制度になっているんだろう…。

[編集者: すずき]
[更新: 2013年 1月 4日 01:09]
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