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月の頭くらいにサマージャンボの結果が出たそうです。当たればウハウハですが、大体の人は当たりません。実際に宝くじはどのくらい損するのでしょうか?今年のドリームジャンボ(第490回全国自治宝くじ)を例に考えます。

  • くじは 1枚 300円です。
  • 1ユニット中には 01組100000 〜 100組199999 までの 1,000万通りの番号が存在します。
  • 賞金は 1等から 7等まで合計すると 127,000万円(約 13億円)です。
  • どの番号も 1等になる可能性は平等です。外れる可能性も平等です。

これより 1枚あたりの期待値は 127円であり、一枚買うごとに 173円損することがわかります。払った金の半分も回収できません。300円はぼりすぎで、せめて 200円くらいにしてほしいものですね。
このように期待値を求めることで参加したいゲームの参加費は適正だろうか?という意思決定の判断材料になります。

しかしコレがうまく働かない場合もあります。以下のゲームであなたは参加費をいくらまでなら払いますか?
「ゲームの賞金は 1円から始まります。コインを投げて表が出ればゲームはそこで終わり、賞金を渡します。裏が出れば賞金は倍になり、もう一度投げるチャンスが与えられます。」
では期待値を求めてみます。1回目、1円を得られる確率は 1/2(表)なので、期待値は 1/2 です。2回目、2円を得られる確率は 1/4(裏、表)なので、期待値は 1/2 です。3回目、4円を得られる確率は 1/8(裏、裏、表)なので、やはり期待値は 1/2 です。
もうお気づきかと思いますが、どの回の期待値も 1/2 です。そしてゲームは無限に続く可能性があるため期待値は∞(無限大)になります。
期待値∞、つまりこのゲームは参加費がいくらであっても損しないのでしょうか…?いえ、もちろんそんなはずはなく、プログラムでシミュレートすると平均取得金額は約 8円とわかります。期待値がうまく働かないこの問題はペテルスブルグのパラドクスと呼ばれています。
※ちなみにこのパラドクスに対してはダニエル・ベルヌーイが有名な解を与えています。詳しくは調べていませんが、評価関数に log を取り入れることで期待値が発散するのを防いでいるそうです。

[編集者: すずき]
[更新: 2006年 11月 19日 16:16]
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