コグノスケ

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群とか環とか体とか、大学で教えてもらった記憶がうっすらありますが、何回見ても忘れます。幸いにもWikipedia先生に割と詳しく解説されているので、まとめておこうと思います。

群

集合Gと二項演算uの組（G, u）を考えます。uは乗法や加法と呼ばれる場合があるようです。以降u(a, b) をa + bの形で表します。

半群

閉性を満たす: 二項演算u（u: G + G -> G）の結果はGに含まれる

結合法則を満たす: a + (b + c) = (a + b) + c

モノイド

単位元eが存在する: a + e = e + a、整数の加法でいえば0

群

逆元xが存在する: a + x = x + a = e整数の加法でいえば -a

アーベル群

交換法則を満たす: a + b = b + a

下にある群は、上の群の性質をすべて満たします（以降も特に断りがなければ同じ）。なので、モノイドは半群の性質を満たしますし、群はモノイドと半群の性質を満たします。

環

集合Rと2つの二項演算u, tの組（R, u, t) を考えます。(R, u) はアーベル群です。uは加法、tは乗法と呼ばれるようです。以降t(a, b) をa * bの形で表します。

乗法半群

閉性を満たす: 二項演算t（t: R * R -> R）の結果はRに含まれる

結合法則を満たす: a * (b * c) = (a * b) * c

乗法モノイド

単位元eが存在する: a * e = e * a、整数の乗法でいえば1

環（モノイドでない場合がある）

加法の上に左分配律を満たす: a * (b + c) = (a * b) + (a * c)

加法の上に右分配律を満たす: (a + b) * c = (a * c) + (b * c)

可換環（モノイドでない場合がある）

交換法則を満たす: a * b = b * a

群と違って、環はモノイド（単位元が存在する）である必要はないみたいです。

零因子

可換環では零でない零因子という困ったことが起きます。

• a * x = 0となるx != 0が存在するときaは左零因子
• y * a = 0となるy != 0が存在するときaは右零因子

困る例として挙げられていたのはa * b = 0かつa != 0でもb = 0とは限らない、もしくは、a * b = a * cかつa != 0でも、b = cとは限らない、という例でした。

具体的な例が載ってませんでしたが、行列の和と積を考えると発生しそうに思えます。

A =
[1, 1]
[0, 0]

B =
[ 1, 0]
[-1, 0]

C =
[0, -1]
[0,  1]

A * B =
[0, 0]
[0, 0]

A * C =
[0, 0]
[0, 0]

A != 0だがB, Cは零行列ではない。A * B = A * Cだが、B = Cでもない。

環はこういうパターンが無数に出てきて、さらに条件を厳しくしないと困る場合がありますよ、ということですかね？

整域

変わった名前ですが、環の一種のようです。環で発生する零因子による困った問題を排除しています。

整域（乗法モノイドである必要がある）

零が唯一の零因子: a * x = 0かつa != 0ならばx = 0

非自明環: 自明環（零のみの集合は {0} 環となるので、自明環と呼ばれる）ではない

力尽きた

群環体の「体」まで辿り着きたかったのですが、整閉整域、一意分解整域、主イデアル整域、ユークリッド整域、体、有限体、と訳のわからない名前のオンパレードで、力尽きました。また今度調べます。