コグノスケ

算数の問題

地域広報誌の塾の広告に載っていた「小学生向けの」問題が面白かったので解いてみました。塾名忘れてしまった…。問題も勝手に乗せていいのかどうか知らんけど…ま、いいか。

問題

問題は「半径6cmの半円の円周を6等分した点を図のように結んだとき、青い部分の面積を求めよ」というもので、但し書きとして「円周率を3とすること、三平方の定理を使わないこと」とあります。

円周率の値は「ゆとり乙！」ってことでπと書くとして、三平方の定理を使えないのは手ごわいです。あくまでも小学生向け問題なので、平方根なんて大人げないモノ使うなよ？という意味なのでしょう。

補助線を引こう

まずは円の中心から交点へ補助線を引きます。半円の円周を6等分した点へ補助線を引いたので、補助線は半円を1/6、全円を1/12に等分しています。この1/12円（以降、ピザ型と呼ぶ）の面積をpと置きます。

次に交点から円の直径へ垂線を引きます。補助線が成す角は360 / 12 = 30°ですので、鋭角30°の直角三角形ができます。この直角三角形の面積をxと置きます。

ピザ型から直角三角形を除いた部分（以降、帽子型と呼ぶ）の面積はp - xとなります。

補助線

実はxなどと置かなくても、三辺の比（1:2:√3）から、辺の長さ、三角形の面積を求められるのですが、三平方の定理禁止ルールに違反するのでNGですよ。

面積を求めよう

面積を求める前に青い部分を包含するピザ型達に注目しましょう。青い部分を包含するために必要なピザ型は4枚なので、面積は4pとなります。当たり前ですね。

ピザ4枚に注目

青い部分を見ると、ピザ型4枚から、直角三角形2個、帽子型2個、を取り去った形をしていることがわかります。

面積を求める

さきほど説明した通り、ピザ型4枚の面積は4p、直角三角形2個の面積は2x、帽子型2個の面積は2(p - x) です。

したがって青い部分の面積は4p - 2x - 2(p - x) = 2pです。

ピザ型の面積pは半径6cmの円の1/12でしたから、p = 6 * 6 * π ÷12 = 3π です。よって、答えは6π になります。

感想

最初は三平方の定理を使って無理やり解いたので、計算が面倒くさかったのだけれど、ちゃんと考えれば暗算で解ける問題なんだなあ、とわかって感心しました。

自分の小学生時代にこの問題解けるかって？いやー、絶対無理でしょ、こんなの。