コグノスケ

DA変換

前回の日記（2014年11月15日の日記参照）では、DA変換を理解できていなくて、いい加減な図を描いてしまったので、今日はLPCMのサンプル値から連続時間信号を生成した場合の波形を計算して描いてみようと思います。

調べたところによれば、サンプル値x[n] を離散時間フーリエ変換し、周波数領域に変換して、得られた周波数領域のうち角周波数 -π/Ts < ω < π/Tsのみを残すローパスフィルタを掛け（※）、残った周波数領域を逆フーリエ変換すると、連続時間信号になるそうです。

（※）Tsはサンプリング周期、つまり何秒に1回サンプリングするかを表す記号です。

計算をすっ飛ばして結果だけ言うと、時間をTsずつずらしながら、各サンプル値x[n] とsinc関数（理想的なローパスフィルタを逆フーリエ変換するとsinc関数になる）の積を取り、全て足し合わせれば、連続時間信号になります。何故なのか説明できるほど理解できていませんが、ひとまずそういうモンということで、計算してみます。

周波数1/2 fsの矩形波のLPCMサンプルデータと連続時間信号

サンプル値は -400から400で、サンプリング周期Tsは20 [s]、サンプリング周波数fsは1/20 = 0.05 [Hz] とし、0〜960 [s] までを計算しています。横軸tの単位は [s] です。

これだけだと、ふーん……。で終わってしまうので、わかりやすいように、1個目のサンプルと、2個目のサンプルのみで、連続時間信号を計算してみます。

各LPCMサンプルデータと対応するsinc関数

赤色（系列2）が1個目のサンプル、緑色（系列3）が2個目のサンプル、青色（系列1）が総和です。1/2 fsかつ、ピーク値がLPCMのサンプル値とほぼイコールのSin波が計算されるのがわかると思います。

じゃあ1/4 fsは？というと、こうなります。

周波数1/4 fsの矩形波のLPCMサンプルデータと連続時間信号

前回の適当な図とは違い、1/4 fsのSin波が出力され、ピーク値はLPCMのサンプル値を超えてしまう、という様子もよくわかると思います。ちなみに連続時間信号のピーク値はt=409（真ん中の山の頂点）で563.7です。

もちろん1/6 fsや1/8 fsも計算可能ですが、長くなってきたので、また後日にでも載せます。