コグノスケ

2048の最高得点（その1）

2048の最高得点について考えてみます。

仮定: 新しい数字が常に理想的に出現した場合、4x4のフィールドは、横1列の16マスと同等とみなせる、とします。

この仮定が正しいかどうかがイマイチ分かりませんが…考えるのは後回しにします。この仮定が正しいとして、

• 必ず左端に新しい数字が出現
• 常に右に移動

という動きを考えます。

2だけ出てくる場合

新しい数字としては2か4が出ますが、まずは単純にするため2が出続けた場合を考えます。2が出続けた場合の手詰まりの形は、
2, 4, 8, 16, ..., 65536
つまり、
2, 4, ..., 2^(N-1), 2^N
です。

手詰まりになるまで4がいくつ必要か（＝4が何回生成されるか、と同意）を考えますと、

マス数: 手詰まり形: 各マスの数字を作るのに必要な4の数
2マス: 2, 4        → 0, 1
3マス: 2, 4, 8     → 0, 1, 2
4マス: 2, 4, 8, 16 → 0, 1, 2, 4
となります。

Nマスにおいて、手詰まりまでに生成された4の数S(N, 4) は、初項1、公比2、項数N-1の等比数列の和と等しいですから、
S(N, 4) = 2^(N-1) - 1
よって得られる点数は、
4 * S(N, 4)
です。

次に8が何回生成されるか？を考えますと、

マス数: 手詰まり形: 各マスの数字を作るのに必要な8の数
4マス: 2, 4, 8, 16 → 0, 0, 1, 2
となります。

生成される新しい数字が倍になり（つまり4が出てくると考える）、マスは1つ減った、と考えるとわかりやすいですかね？
S(N, 8) = S(N - 1, 4)
なので得られる点数は、
8 * S(N - 1, 4)
です。

さらに一般化するとNマスで手詰まりしたとき、それぞれのマスに存在する数は、
2, 4, 8, 16, ..., 2^N
となります。

一般項をAnとおくと、
An = 2^n (ただしn = 1, 2, ..., N)
です。

各数値が何回生成されるかを4を基準に考えると、
S(N + 1, 4), S(N, 4), S(N - 1, 4), ..., S(2, 4)
と表せます。

一般項をSnとおくと、
Sn = S(N + 2 - n, 4) = 2 ^ (N + 2 - n - 1) - 1 = 2 ^ (N - n + 1) - 1
(ただしn = 1, 2, ..., N)
と表せます。

各数値を生成する際に得られる点数は、AnとSnの積を合計した値になります。
0 * S(N + 1, 4), 4 * S(N, 4), 8 * S(N - 1, 8), ..., 2^N * S(2, 4)
しかし2048のルールでは2の生成時に点数は入りませんので、初項A1 * S1を除く必要があります。

記号を使って少しかっこよく書けば、
N
Σ(Ak * Sk) - A1 * S1
k=1
となり、このとき、
Ak * Sk = 2^k * (2^(N - k + 1) - 1) = 2^(N + 1) - 2^k
A1 * S1 = 2^(N + 1) - 2
です、かね。たぶん。

先ほどの最高得点の式、試しにN = 16で計算してみると1835012点、つまり183万点です。経験上2048を1つ作った時点で2万点程度ですので、どれだけ理不尽な数かがわかると思います…。

4だけ出てくる場合

前節では183万点と計算しましたが、新規に生成される数値が4だけだった場合は、手詰まりの形は2だけの時の65536のさらに倍の数字131072まで生成可能です。

つまりNマスで手詰まりしたとき、それぞれのマスに存在する数は、
4, 8, 16, 32, ..., 2^(N + 1)
となります。

一般項をAnとおくと、
An = 2^(n + 1) (ただしn = 1, 2, ..., N)
です。

前節で求めた点数の総和の式に当てはめてN = 16を計算すると3670024点となります。うーん367万点ねー…普通にやっていたらまず無理ですね。

しかし2048では2だけでも4だけでもなく、両方とも新規生成されます。これは4だけが新規生成される場合と比較して、空いているマスさえあれば4を生成することができるため、最高得点はさらに上がある、ということです。

また今度にでも考えます…。