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2012年12月27日

算数の問題

地域広報誌の塾の広告に載っていた「小学生向けの」問題が面白かったので解いてみました。塾名忘れてしまった…。問題も勝手に乗せていいのかどうか知らんけど…ま、いいか。


問題

問題は「半径6cmの半円の円周を6等分した点を図のように結んだとき、青い部分の面積を求めよ」というもので、但し書きとして「円周率を3とすること、三平方の定理を使わないこと」とあります。

円周率の値は「ゆとり乙!」ってことでπと書くとして、三平方の定理を使えないのは手ごわいです。あくまでも小学生向け問題なので、平方根なんて大人げないモノ使うなよ?という意味なのでしょう。

補助線を引こう

まずは円の中心から交点へ補助線を引きます。半円の円周を6等分した点へ補助線を引いたので、補助線は半円を1/6、全円を1/12に等分しています。この1/12円(以降、ピザ型と呼ぶ)の面積をpと置きます。

次に交点から円の直径へ垂線を引きます。補助線が成す角は360 / 12 = 30°ですので、鋭角30°の直角三角形ができます。この直角三角形の面積をxと置きます。

ピザ型から直角三角形を除いた部分(以降、帽子型と呼ぶ)の面積はp - xとなります。


補助線

実はxなどと置かなくても、三辺の比(1:2:√3)から、辺の長さ、三角形の面積を求められるのですが、三平方の定理禁止ルールに違反するのでNGですよ。

面積を求めよう

面積を求める前に青い部分を包含するピザ型達に注目しましょう。青い部分を包含するために必要なピザ型は4枚なので、面積は4pとなります。当たり前ですね。


ピザ4枚に注目

青い部分を見ると、ピザ型4枚から、直角三角形2個、帽子型2個、を取り去った形をしていることがわかります。


面積を求める

さきほど説明した通り、ピザ型4枚の面積は4p、直角三角形2個の面積は2x、帽子型2個の面積は2(p - x) です。

したがって青い部分の面積は4p - 2x - 2(p - x) = 2pです。

ピザ型の面積pは半径6cmの円の1/12でしたから、p = 6 * 6 * π ÷12 = 3π です。よって、答えは6π になります。

感想

最初は三平方の定理を使って無理やり解いたので、計算が面倒くさかったのだけれど、ちゃんと考えれば暗算で解ける問題なんだなあ、とわかって感心しました。

自分の小学生時代にこの問題解けるかって?いやー、絶対無理でしょ、こんなの。

編集者:すずき(2012/12/28 01:05)

コメント一覧

  • hdkさん(2012/12/28 13:33)
    三角形部分の面積を求めなくて良いという事実に気づくのに 30 分もかかりました... その面積がわかったと仮定して計算式を思い浮かべている時に、三角形部分が消えることにやっと気づいたのですが、算数の問題の解答では、図で三角形を移動するような説明をするのでしょうねぇ。
  • すずきさん(2012/12/28 17:06)
    >hdk さん
    図で三角形を移動するような説明はわかりやすいけれど、ごまかされている気がしますね。

    直角三角形の合同条件も含めてきちんと示すべきでした。

    1) 半円の直径を1辺に持つ直角三角形は合同
    1-1) 円周を6等分していることから、2つの鋭角は30°で等しい
    1-2) 半円の半径を斜辺としていることから、2つの斜辺の長さは等しい
    以上から2つの直角三角形は合同。

    2) 直径に垂直な半径を1辺に持つ直角三角形は合同
    2-1) 円周を6等分していることから、2つの鋭角は30°で等しい
    2-2) 半円の半径を斜辺としていることから、2つの斜辺の長さは等しい
    以上から2つの直角三角形は合同、1) とも合同。

    3) 青い部分の下辺は直径と平行
    1) から直径を底辺とした直角三角形の高さは等しい。直径と青い部分の下辺の距離は一定、つまり平行

    4) 1) と斜辺を共有する直角三角形は合同
    4-1) 3) より2つの鋭角は錯角の関係にあるため、30°で等しい
    4-2) 斜辺を共有しているため、2つの斜辺の長さは等しい
    以上から2つの直角三角形は 1) と合同。
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