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経過日を年月日に変換 - その2

前回（2009年11月16日の日記参照）は経過日から月日への計算を行いました。残るは年の計算です。

グレゴリオ歴の周期性

前回も紹介したとおり、グレゴリオ暦の平年、閏年には下記の法則があります。

1. 平年は365日、閏年は366日
2. 西暦が4で割り切れる年は閏年(1年が366日)
3. 西暦が100で割り切れる年は平年(1年が365日)
4. 西暦が400で割り切れる年は閏年(1年が366日)

4年周期は平年、平年、平年、閏年のパターンです。

100年周期は4年周期を25回繰り返すだけですが、最後の100年目だけは閏年ではありません。

400年周期は100年周期を4回繰り返すだけですが、最後の400年目だけは閏年になります。400年以上を扱うルールはありませんので、以降400年周期で同じパターンが続きます。

図示すると下記のようになります。オレンジの四角が閏年を表しています。

閏年のパターン

各周期の日数の計算式は下記の通りです。

1. 1年は365日
2. 4で割り切れるときは閏年、つまり最後の年だけ +1日
   365+365+365+366
   =365*4+1
   =1461
3. 100で割り切れるときは平年、つまり最後の年だけ -1日
   1461+1461+…++1461+1460
   =1461*25-1
   =36524
4. 400で割り切れるときは閏年、つまり最後の年だけ +1日
    36524+36524+36524+36525
   =36524*4+1
    =146097

パターンがわかってしまえば、与えられた経過日にこのパターンがいくつ含まれているか？を計算するのみです。

経過日から年への変換

では実際に経過日から年を計算してみます。しつこいですがパターンは下記4つです。経過日にこれらのパターンがいくつ含まれているか調べます。

• パターンA: 400年 = 146097日
• パターンB: 100年 = 36524日
• パターンC: 4年 = 1461日
• パターンD: 1年 = 365日

なぜ上記パターンの数を求めれば年数が出るのか？がわかる人は次の章を飛ばして読んでください。

桁の話

ここでは桁の概念についてと、年への換算にどう使うか？を補足させていただきます。

私たちにおなじみの10進数は1234のように書きますが、これってどういう意味でしょうか？

10進数の1桁目は10^0がいくつ含まれているか、2桁目は10^1がいくつ含まれているかを示します。n桁目は10^(n-1) がいくつ含まれているか？を示します。

ですから10進数で1234は（1 * 10^3 + 2 * 10^2 + 3 * 10^1 + 4 * 10^0 = 1234）という数（10進数表記）を表します。

当たり前？でもこれは m進数でも同様で、n桁目はm^(n-1) がいくつ含まれているか？を示します。

ですから8進数の1234は（1 * 8^3 + 2 * 8^2 + 3 * 8^1 + 4 * 8^0 = 668）という数（10進数表記）を表します。

経過日から年を求める場合も、これと似た考え方ができます。各パターンの数を桁と見なして（400年の桁、100年の桁、4年の桁、1年の桁）、10進数へと換算してやればよいのです。

各パターンの数（400年、100年、4年、1年）が1, 2, 3, 3であれば（1 * 400 + 2 * 100 + 3 * 4 + 3 * 1 = 615）という年（10進数表記）を表します。

このように各パターンの数を求めてあげることで、年数が計算可能なのです。

経過日から年への計算式

パターンAの数は（経過日 / 146097）です。余りの経過日は400年未満のどこか（0年3月1日〜399年2月29日）を表します。これはパターンBの計算に回します。

パターンBの数は（経過日 / 36524）です。余りの経過日は100年未満のどこか（0年3月1日〜99年2月28日）を表します。余りは同様にパターンCの計算に回します。

しかし146096日（399年2月29日）の場合に3となるべきところが4になり間違えてしまうため、特別に3とします。その際の余り経過日は99年2月29日ですから36525 - 1 = 36524日（開始が0日のため1引く）となります。

パターンCの数は（経過日 / 1461）です。余りの経過日は4年未満のどこか（0年3月1日〜3年2月29日）を表します。余りは同様にパターンDの計算に回します。

パターンDの数は（経過日 / 365）です。余りの経過日は1年未満のどこか（0年3月1日〜0年2月28日）を表します。ここの余りは経過日から月日を求める計算に回します。

しかし1460日（3年2月29日）の場合に3となるべきところが4になり間違えてしまうため、特別に3とします。その際の余り経過日は0年2月29日ですから366 - 1 = 365日（開始が0日のため1引く）となります。

実装例

実装する関数の仕様は下記の通りです。

date

400で割り切れる西暦（1600年、2000年など）の3月1日からの経過日を渡します。値域は正の整数です。

year

年を返します。値域は正の整数です。

mod

1年に満たない経過日を返します。値域は0〜365です。

返り値

成功ならば0を返します。エラーが起きた場合は -1を返します。

この処理をC言語で書くと下記のようになります。

経過日から年への変換、実装例

int date_to_year(int date, int *year, int *mod)
{
        int a400, a100, a4, a;
        int m400, m100, m4, m;

        if (date < 0) {
                return -1;
        }

        a400 = date / 146097;
        m400 = date % 146097;
        if (m400 == 146096) {
                a100 = 3;
                m100 = 36524;
        } else {
                a100 = m400 / 36524;
                m100 = m400 % 36524;
        }
        a4 = m100 / 1461;
        m4 = m100 % 1461;
        if (m4 == 1460) {
                a = 3;
                m = 365;
        } else {
                a = m4 / 365;
                m = m4 % 365;
        }

        if (year) {
                *year = a400 * 400 + a100 * 100 + a4 * 4 + a;
        }
        if (mod) {
                *mod = m;
        }

        return 0;
}

これで経過日から年への変換は完成ですが、まだテストが終わっていません。

月日の変換のときは、入力に対する答えがたかだか366通りと少なかったため、目でチェックしました。しかし今回は400年つまり146097日もの数をチェックしなければなりません。こんな数を目で一々チェックしていたら頭がおかしくなります。

テストの方法についてはまた次回に。