コグノスケ

月の頭くらいにサマージャンボの結果が出たそうです。当たればウハウハですが、大体の人は当たりません。実際に宝くじはどのくらい損するのでしょうか？今年のドリームジャンボ（第490回全国自治宝くじ）を例に考えます。

• くじは1枚300円です。
• 1ユニット中には01組100000〜100組199999までの1,000万通りの番号が存在します。
• 賞金は1等から7等まで合計すると127,000万円（約13億円）です。
• どの番号も1等になる可能性は平等です。外れる可能性も平等です。

これより1枚あたりの期待値は127円であり、一枚買うごとに173円損することがわかります。払った金の半分も回収できません。300円はぼりすぎで、せめて200円くらいにしてほしいものですね。
このように期待値を求めることで参加したいゲームの参加費は適正だろうか？という意思決定の判断材料になります。

しかしコレがうまく働かない場合もあります。以下のゲームであなたは参加費をいくらまでなら払いますか？
「ゲームの賞金は1円から始まります。コインを投げて表が出ればゲームはそこで終わり、賞金を渡します。裏が出れば賞金は倍になり、もう一度投げるチャンスが与えられます。」
では期待値を求めてみます。1回目、1円を得られる確率は1/2（表）なので、期待値は1/2です。2回目、2円を得られる確率は1/4（裏、表）なので、期待値は1/2です。3回目、4円を得られる確率は1/8（裏、裏、表）なので、やはり期待値は1/2です。
もうお気づきかと思いますが、どの回の期待値も1/2です。そしてゲームは無限に続く可能性があるため期待値は∞(無限大)になります。
期待値∞、つまりこのゲームは参加費がいくらであっても損しないのでしょうか…？いえ、もちろんそんなはずはなく、プログラムでシミュレートすると平均取得金額は約8円とわかります。期待値がうまく働かないこの問題はペテルスブルグのパラドクスと呼ばれています。
※ちなみにこのパラドクスに対してはダニエル・ベルヌーイが有名な解を与えています。詳しくは調べていませんが、評価関数にlogを取り入れることで期待値が発散するのを防いでいるそうです。